раздел геометрии, изучающий свойства фигур, не меняющихся при проективных преобразованиях (См. Проективное преобразование), например при проектировании. Такие свойства называются проективными. Параллельность и перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов - непроективные свойства, т.к. пересекающиеся прямые / и m могут спроектироваться в параллельные /' и m' (рис. 1), равные отрезки AB и BC - в неравные A'B' и B'C' (рис. 2), и т.д. Проекция любой линии второго порядка есть снова линия второго порядка, так что принадлежность классу линий второго порядка - проективное свойство. Проективным является и Гармоническое расположение 4 точек на прямой.

При проектировании точек одной плоскости на другую не каждая точка плоскости П имеет образ на плоскости П' и не каждая точка П' имеет прообраз П (см. Отображение). Это обстоятельство привело к необходимости дополнения евклидовой плоскости т. н. бесконечно удалёнными (несобственными) точками (см. Бесконечно удалённые элементы). Такое присоединение приводит к образованию нового геометрического объекта - проективной плоскости.

Присоединяя к прямой несобственную точку, получают проективную прямую. К непараллельным прямым присоединяются разные точки, к параллельным - одна и та же. Дополняя плоскость несобственной прямой, считают, что на ней лежат несобственные точки всех прямых плоскости. Евклидова плоскость, дополненная несобственными элементами, называется (действительной) проективной плоскостью. На ней через любые две различные точки проходит и притом только одна прямая, и любые две различные прямые имеют и притом только одну общую точку. Дополнение евклидовой плоскости до проективной приводит к тому, что проектирование становится взаимно однозначным преобразованием.

Аналогичным образом из евклидова пространства получается Проективное пространство.

Существуют различные способы аксиоматического задания действительной проективной плоскости. Наиболее распространённая система аксиом получается видоизменением системы аксиом, предложенной Д. Гильбертом для обоснования плоской евклидовой геометрии (см. Геометрия). Проективная плоскость рассматривается как совокупность элементов двух родов: точек и прямых, между которыми устанавливаются отношения принадлежности и порядка, характеризуемые соответствующими аксиомами. Первая группа аксиом отличается от соответствующей группы аксиом евклидовой геометрии тем, что каждые две прямые на плоскости имеют общую точку, и что на прямой имеется по крайней мере три различные точки. В качестве основного отношения порядка принимается разделённость двух пар точек, лежащих на одной прямой, описываемое второй группой аксиом. На рис. 3 пара точек С и D разделяет пару точек А и В, а пара А и С не разделяет пару В и D. Иногда к этим аксиомам добавляются Непрерывности аксиомы.

Существуют интерпретации проективной плоскости, не привлекающие бесконечно удалённых элементов. Например. пусть R³ - евклидово пространство и О - точка в нём. Обозначим через П множество прямых, проходящих через О; точкой в П назовем евклидову прямую, проходящую через О, а прямой в П - множество евклидовых прямых, проходящих через О и лежащих в одной плоскости. Тогда П удовлетворяет аксиомам проективной плоскости.

Координаты на проективной плоскости можно ввести, например, следующим образом. Пусть П' - проективная плоскость, соответствующая евклидовой плоскости П, и пусть на П задана декартова система координат. Если М (х, у) - точка плоскости П, то однородными координатами точки М называются любые три числа (x¹, x², x³) такие, что x¹/x³ = х, x²/ x³ = у. Если ∞ - несобственная точка плоскости П, то через неё проходит пучок параллельных прямых; однородными координатами точки ∞ называются любые три числа (x¹, x², x³), первые два из которых суть координаты вектора, параллельного этим прямым, а x³ = 0. Т. о., однородные координаты точки из П' представляют собой тройку чисел, не равных одновременно нулю. Любая прямая на проективной плоскости определяется линейным однородным уравнением u₁x¹ + u₂x² + u₃х³ = 0 между однородными координатами точек этой прямой, и обратно: всякое такое уравнение определяет прямую. Числа (u₁, u₂, u₃), не равные одновременно нулю, называются однородными координатами прямой. Уравнение несобственной прямой имеет вид x³ = 0. Если рассматривать проективную плоскость П' как пучок прямых в пространстве, то однородные координаты получают прозрачный геометрический смысл - это координаты какого-нибудь направляющего вектора прямой, изображающей точку проективной плоскости. Аналогичным образом вводятся координаты и в проективном пространстве.

Одним из замечательных положений П. г. является принцип двойственности. Говорят, что точка и прямая инцидентны, если точка лежит на прямой (или прямая проходит через точку). Тогда оказывается, что если верно некоторое предложение А о точках и прямых проективной плоскости, сформулированное только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и предложение В, двойственное предложению А, т. е. предложение, которое получается из А заменой слова "точка" на слово "прямая", а слова "прямая" на слово "точка". См. Двойственности принцип.

Важную роль в П. г. играет теорема Дезарга: если соответствующие стороны двух треугольников ABC и A'B'C' (рис. 4), лежащих в одной плоскости, пересекаются в точках Р, Q, R, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке О, и обратно: если прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников ABC и A'B'C', лежащих в одной плоскости, сходятся в одной точке, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Обратная теорема Дезарга двойственна прямой теореме по принципу двойственности. Интересно, что эту теорему нельзя доказать лишь на основе аксиом инцидентности проективной плоскости, однако она справедлива на любой проективной плоскости, которая лежит в проективном пространстве,- такова, например, действительная проективная плоскость. Первый пример недезарговой проективной плоскости дал Д. Гильберт.

Выполнение теоремы Дезарга необходимо и достаточно для введения координат на проективной плоскости синтетическим путём. Это делается с помощью так называемого исчисления вурфов; оно состоит в том, что на проективной прямой вводятся операции сложения и умножения точек, превращающие её в Тело k. Построение осуществляется с помощью полных четырёхвершинников - плоских фигур, составленных четырьмя точками, из которых никакие три не лежат на одной прямой (рис. 5), и шестью прямыми, соединяющими попарно эти точки; такая конфигурация позволяет определить чисто проективно понятие гармонической четвёрки точек. Двойственным образом с использованием полных четырехсторонников устанавливаются операции сложения и умножения в пучке прямых.

Свойства проективной прямой, как алгебраической системы, определяются, с одной стороны, геометрическими свойствами проективной плоскости, в которой она расположена. Так, например, коммутативность тела равносильна выполнению т. н. аксиомы Паппа: если / и /' - две различные прямые, А, В, С и A', B', С' - тройки различных точек прямых / и l' соответственно, то точки пересечения прямых AB' и A'B, AC' и A'C, BC' и B'C лежат на одной прямой; тело k имеет отличную от двух характеристику тогда и только тогда, когда диагональные точки Р, О, R полного четырёхвершинника ABCD не лежат на одной прямой [Р, О, R определяются как точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, AD и BC соответственно (рис. 5)]. С др. стороны, в зависимости от выбора исходного тела k определяются различные проективные плоскости П_k как совокупности классов пропорциональных троек элементов тела k [за исключением тройки (0, 0, 0)]. Такой аналитический подход наряду с синтетическим с успехом применяется для изучения проективных свойств кривых и поверхностей. Аналогичные построения можно провести и для проективного пространства.

Линией второго порядка на проективной плоскости называют объект, определяемый с точностью до множителя пропорциональности классом однородных уравнений второй степени:

a₁₁ (x¹)² + a₂₂ (x²)² + a₃₃ (x³)² + 2a₁₂ x¹x² + 2a₂₃ x²x³ + 2a₃₁ x³x¹ = 0.

Всякая нераспадающаяся линия второго порядка на действительной проективной плоскости (овальная линия) есть либо эллипс, либо гипербола, дополненная несобственными точками её асимптот, либо парабола, дополненная несобственной точкой её диаметров. Распадающаяся линия второго порядка состоит из двух прямых (различных или совпадающих) или одной точки. Наконец, возможна нераспадающаяся линия второго порядка, не содержащая действительных точек. Этим исчерпывается проективная классификация всех линий второго порядка. Фигурой, двойственной линии второго порядка, является пучок прямых второго класса - объект, определяемый классом пропорциональных однородных уравнений второй степени в координатах (u₁, u₂, u₃). Огибающая невырожденного пучка прямых есть линия второго порядка.

Если на проективной плоскости заданы пять точек, из которых никакие четыре не лежат на одной прямой, то существует и притом только одна линия второго порядка, проходящая через эти точки. Точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в линию второго порядка, лежат на одной прямой (теорема Паскаля) (рис. 6). В случае распадающейся линии второго порядка эта теорема сводится к утверждению, формулируемому аксиомой Паппа. Двойственной теореме Паскаля является теорема Брианшона: диагонали, соединяющие противоположные стороны шестисторонника, описанного около овальной линии второго порядка, проходят через одну точку (рис. 7). См. также Полюсы и поляры.

Основы П. г. были заложены в 17 в. Ж. Дезаргом (в связи с развитием им учения о перспективе) и Б. Паскалем (См. Паскаль) (в связи с изучением им некоторых свойств конических сечений) Большое значение для последующего развития П. г. имели работы Г. Монжа (2-я половина 18 - начало 19 вв.). Как самостоятельная дисциплина П. г. была изложена Ж. Понселе (начало 19 в.). Заслуга Понселе заключалась в выделении проективных свойств фигур в отдельный класс и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур. К этому же периоду относятся работы французского математика Ж. Брианшона. Дальнейшее развитие П. г. получила в трудах швейцарского математика Я. Штейнера и французского математика М. Шаля. Большую роль в развитии П. г. сыграли работы немецкого математика К. Штаудта. Его работами были намечены также контуры аксиоматического построения П. г. Все эти геометры стремились доказывать теоремы П. г. синтетическим методом, положив в основу изложения проективные свойства фигур. Аналитическое направление в П. г. было намечено работами А. Мебиуса (См. Мёбиус). Влияние на развитие П. г. оказали работы Н. И. Лобачевского (См. Лобачевский) по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные геометрические системы с точки зрения П. г. Развитие аналитических методов обычной П. г. и построение на этой базе комплексной П. г. (немецкий математик Э. Штуди, Э. Картан) поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над которым построена геометрия. В решении этого вопроса больших успехов добились А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин.

Некоторые положения и факты П. г. применяются в номографии, в теории статистических решений, в квантовой теории поля и в конструировании печатных схем (через теорию графов).

Лит.: Вольберг О. А., Основные идеи проективной геометрии, 3 изд., М. - Л., 1949; Глаголев Н. А., Проективная геометрия, 2 изд., М.,1963; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; Хартсхорн Р., Основы проективной геометрии, пер. с англ., М., 1970; Veblen О., Young J. W., Projective geometry, v. 1-2, Boston - N. Y., 1910-18.

По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

раздел геометрии, изучающий проективные свойства фигур. Отличается от евклидовой геометрии тем, что в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку. Тесно связанная с перспективой, проективная геометрия плоскости занимается изучением свойств и отношений, которые остаются неизменными при проецировании плоской фигуры на другую плоскость.

Те, кто изучал только евклидову геометрию, считают очевидным факт, что две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие общий перпендикуляр, параллельны, т.е. не пересекутся, как бы далеко мы их ни продолжали. Однако если мы, например, посмотрим на железнодорожные рельсы, являющиеся параллельными прямыми, то нам безусловно покажется, что они пересекаются на горизонте. Предположив, что любые две прямые пересекаются, мы получаем систему утверждений, столь же логически непротиворечивую, как и отличная от нее система утверждений евклидовой геометрии (см. также ГЕОМЕТРИЯ; НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ).

Можно было бы ожидать, что геометрия без окружностей, расстояний, углов и параллельности окажется беднее евклидовой геометрии. Этимологически кажется странным, что может существовать геометрия, не имеющая дело с измерениями (ведь само слово "геометрия" произошло от греческого слова, означающего землемерие). Но в действительности возникает очень красивая и сложная система с теоремами, о которых Евклид не мог даже помыслить, поскольку сосредоточенность на измерении увела его совсем в другую сторону. Однако сам переход от аксиом и простейших теорем к "интересным" теоремам проективной геометрии напоминает по духу, если и не в деталях, работы Евклида.

Лишь немногие из этих неметрических утверждений были известны до 1425, когда художник Брунеллески начал заниматься теорией перспективы, систематизированной несколькими годами позже в трактате Альберти. После этого было бы естественно перейти к построению проективной геометрии для трех измерений, но вскоре обнаружилось, что и двух измерений вполне достаточно, чтобы надолго привлечь внимание математиков к задачам проективной геометрии. Плоская проективная геометрия занимается изучением геометрических свойств, не меняющихся при центральном проецировании. Примером такого проецирования может служить тень от абажура лампы, падающая на стену или на пол. Обычно световое пятно имеет круглую или эллиптическую форму на полу и гиперболическую - на стене. Таким образом, в проективной геометрии нет привычного различия между окружностью, эллипсом, параболой и гиперболой; это просто конические сечения, подобные друг другу. Если художник рисует кафельный пол на вертикальном холсте, квадратные плитки уже не кажутся квадратами, т.к. их стороны и углы искажаются, но линии, на которых лежат стороны, остаются прямыми. Поэтому проективная геометрия имеет дело с треугольниками, четырехугольниками и т.д., но не с прямоугольными треугольниками, параллелограммами и т.д. См. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
.

История. Хотя конические сечения изучали еще Менехм, Евклид, Архимед и Аполлоний в 4 и 3 вв. до н.э., первые действительно проективные теоремы были открыты Паппом Александрийским в 3 в. н.э., а самое раннее доказательство проективной теоремы, исходящее из чисто проективных свойств фигур, было предложено Ж.Понселе (1788-1867), который, находясь в русском плену после бегства Наполеона из Москвы, написал Трактат о проективных свойствах фигур. Развивая идею, высказанную ранее И.Кеплером (1571-1630), Понселе получил проективное пространство из обычного, постулировав существование "бесконечно удаленной плоскости", содержащей "бесконечно удаленную прямую" для каждого пучка параллельных плоскостей, и "бесконечно удаленную точку" для каждого пучка параллельных прямых. Это позволило утверждать, что две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке. Но для того, чтобы действительно перейти к проективной геометрии, надо уравнять в правах эти дополнительно введенные бесконечно удаленные точки с обычными. Большую роль в этом сыграли работы К. фон Штаудта (1798-1867), а последние следы зависимости от измерений устранил в 1899 М.Пьери, построивший систему аксиом проективной геометрии. Впоследствии другими авторами предлагались системы аксиом, слегка отличные от системы Пьери. Используемая нами далее система аксиом была предложена в 1910 О.Вебленом и Дж.Юнгом.

Определения. Основными понятиями, не нуждающимися в определении, будем считать "точку", "прямую" и отношение "инцидентности". Если точка P и прямая l инцидентны, мы говорим, что точка P "лежит на" прямой l, или что прямая l "проходит через" точку P. Если прямая l проходит через две точки P и Q, то мы говорим, что l "соединяет" их, и записываем l = PQ. Если точка P лежит на прямых l и m, мы говорим, что эти прямые "пересекаются" в P, и записываем P = l?m. Три и более точек на одной прямой называются "коллинеарными". Три и более прямых, проходящих через одну точку, называются "пересекающимися в одной точке". После введения понятия плоскости (см. ниже) мы можем использовать аналогичные термины для пространственных понятий: если плоскость . проходит через две прямые l и m, мы говорим, что она "соединяет" их, и записываем . = lm; если прямая l лежит в плоскостях . и ?, мы говорим, что эти плоскости "пересекаются" по прямой l, и записываем l = ???.

"Треугольник" ABC состоит из трех неколлинеарных точек A, B, C, называемых его "вершинами", и трех соединяющих их прямых линий BC, CA, AB, называемых его "сторонами". "Плоскость" ABC состоит из всех точек, которые лежат на прямых, соединяющих C с точками на AB, и всех прямых, соединяющих пары построенных таким образом различных точек. Если четыре точки на плоскости соединены попарно шестью различными прямыми, то они называются вершинами "полного четырехвершинника" (рис. 1), а соответствующие прямые служат его шестью сторонами. Две стороны называются "противоположными", если они не имеют общей вершины. Точка, в которой пересекаются две противоположные стороны, называется "диагональной точкой".

Если подвижная точка X на одной фиксированной прямой и подвижная точка X. на другой соответствуют друг другу так, что прямая XX. всегда проходит через неподвижную точку O, мы будем писать

и говорить, что между подвижными точками X и X. или, точнее, между "областями изменения" точек X и X?, которые являются двумя "сечениями" "пучка" прямых, проходящих через O, имеется проективное соответствие с центром в точке O. Более общо, если точки X и X??. на заданных (необязательно различных) прямых связаны между собой рядом последовательных перспективных соответствий

то мы записываем

и говорим, что между X и X??. имеется непрерывное соответствие или что X проективно отображается в X???.

Точка, соответствующая самой себе, называется "инвариантной".

Аксиомы. После этих предварительных определений мы располагаем всем необходимым для того, чтобы сформулировать следующие девять аксиом:

I. Существуют по крайней мере две различные точки.

II. Любые две различные точки A и B лежат на единственной прямой (а именно на прямой AB).

III. Если A и B - различные точки, то на прямой AB существует по крайней мере одна точка, отличная от A и B.

IV. Если A и B - различные точки, то существует по крайней мере одна точка, не лежащая на прямой AB.

V. Если A, B, C - три неколлинеарные точки и D - точка, лежащая на BC и отличная от B и C, а E - точка, лежащая на CA и отличная от C и A, то существует точка F, лежащая на AB, такая, что точки D, E, F коллинеарны.

VI. Три диагональные точки любого полного четырехвершинника неколлинеарны.

VII. Существует по крайней мере одна точка, не лежащая в плоскости ABC.

VIII. Любые две различные плоскости пересекаются по прямой.

IX. Если на прямой имеются три различных точки, каждая из которых инвариантна относительно проективного соответствия, то любая точка этой прямой также инвариантна относительно этого соответствия.

Примечания к аксиомам. Все сказанное выше кажется интуитивно очевидным, пока мы не доходим до аксиомы V, которая исключает возможность, чтобы прямые AB и DE не пересекались в силу их параллельности. Эта аксиома позволяет определить плоскость ABC с помощью простого приема присоединения точки C ко всем точкам на прямой AB. Аксиома VI также оказывается полезной, хотя существуют некоторые странные геометрии, в которых она отрицается. Аксиома VII делает рассматриваемое пространство трехмерным, а аксиома VIII не позволяет ему стать четырехмерным. Мотивация для введения аксиомы IX станет ясна позднее.

Теорема Дезарга. Если соответствующие вершины двух треугольников соединены прямыми, пересекающимися в одной точке, то их соответствующие стороны пересекаются в трех коллинеарных точках. Обратно, если соответствующие стороны пересекаются в коллинеарных точках, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке.

На рис. 2 вы видите эту знаменитую теорему, примененную к треугольникам PQR, P?Q?R?, у которых прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в точке O. Теорема Дезарга почти очевидна, если два треугольника лежат в различных плоскостях; действительно, в этом случае точки

лежат в плоскости PQR, а также в плоскости P?Q?R?; поэтому они все лежат на прямой PQR?P?Q?R?. Случай двух треугольников, лежащих в одной плоскости, сводится к предыдущему с помощью несколько более длинного рассуждения, использующего две новые точки на прямой, проходящей через O вне плоскости треугольников.

Основная теорема проективной геометрии. Проективное соответствие между двумя прямыми (т.е. между точками этих прямых) единственным образом определяется заданием трех точек на одной прямой и соответствующих трех на другой.

Основная теорема следует из аксиомы IX, если мы установим цепочку перспективных соответствий, связывающих две заданные триады коллинеарных точек. Если две триады точек располагаются на различных прямых, как на рис. 2, то достаточно двух перспективных соответствий. Если обе триады располагаются на одной и той же прямой, то необходимо третье перспективное соответствие, чтобы создать еще одну триаду, не лежащую на той же прямой.

Проективное соответствие между различными прямыми эквивалентно одному перспективному соответствию лишь когда точка, в которой эти прямые пересекаются, инвариантна.

Классификация проективных соответствий на прямой. Аксиома IX показывает, что проективное соответствие на одной прямой не может иметь более двух инвариантных точек; в противном случае оно вырождается в тождественное соответствие, которое сопоставляет с каждой точкой ее саму. Проективное соответствие называется "эллиптическим", "параболическим" или "гиперболическим" в зависимости от того, равно число инвариантных точек 0, 1 или 2. Если используются координаты, то инвариантные точки возникают как корни квадратных уравнений; таким образом, в комплексной геометрии эллиптические проективные соответствия не встречаются, но в действительной геометрии проективное соответствие

является эллиптическим.

Если при проективном соответствии некоторая точка X прямой переходит в точку X?, а точка X. переходит в X, то для любой другой точки Y, переходящей в Y?, Y. переходит в Y; такое соответствие, меняющее местами точки в любой паре переходящих друг в друга точек, называется инволюцией.

Коллинеации и корреляции. Проективное соответствие можно описать как своего рода одномерное преобразование. Оно имеет два двумерных аналога. Коллинеация - проективное соответствие, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой. Корреляция - проективное соответствие, при котором любым трем точкам, лежащим на одной прямой, соответствуют три прямые, проходящие через одну точку, а любым трем прямым, проходящим через одну точку, соответствуют три точки, лежащие на одной прямой.

то же, что Лобачевского геометрия.

геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная Евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. В Л. г. вместо неё принимается следующая аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Казалось бы, эта аксиома противоречит чрезвычайно привычным представлениям. Тем не менее как эта аксиома, так и вся Л. г. имеет вполне реальный смысл (о чём см. ниже). Л. г. была создана и развита Н. И. Лобачевским (См. Лобачевский), который впервые сообщил о ней в 1826. Л. г. называется неевклидовой геометрией, хотя обычно термину "неевклидова геометрия" придают более широкий смысл, включая сюда и др. теории, возникшие вслед за Л. г. и также основанные на изменении основных посылок евклидовой геометрии. Л. г. называется специально гиперболической неевклидовой геометрией (в противоположность эллиптической геометрии Римана) (см. Неевклидовы геометрии, Римана геометрия).

Л. г. представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще (см. Геометрия). С современной точки зрения можно дать, например, следующее определение Л. г. на плоскости: она есть не что иное, как геометрия внутри круга на обычной (евклидовой) плоскости, лишь выраженная особым образом. Именно, будем рассматривать круг на обычной плоскости (рис. 1) и внутренность его, т. е. круг, за исключением ограничивающей его окружности, назовем "плоскостью". Точкой "плоскости" будет точка внутри круга. "Прямой" будем называть любую хорду (например, а, b, b', MN) (с исключенными концами, т. к. окружность круга исключена из "плоскости"). "Движением" назовем любое преобразование круга самого в себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому Л. г. Иными словами, всякое утверждение Л. г. на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, т. к. через точку О, не лежащую на данной хорде а (т. е. "прямой"), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд ("прямых") (например, b, b'). Аналогично, Л. г. в пространстве может быть определена как геометрия внутри шара, выраженная в соответствующих терминах ("прямые" - хорды, "плоскости" - плоские сечения внутренности шара, "равные" фигуры - те, которые переводятся одна в другую преобразованиями, переводящими шар сам в себя и хорды в хорды). Таким образом, Л. г. имеет совершенно реальный смысл и столь же непротиворечива, как геометрия Евклида. Описание одних и тех же фактов в разных терминах или, напротив, описание разных фактов в одних и тех же терминах представляет характерную черту математики. Она ясно выступает, например, когда одна и та же линия задаётся в разных координатах разными уравнениями или, напротив, одно и то же уравнение в разных координатах представляет различные линии.

Возникновение геометрии Лобачевского. Источником Л. г. послужил вопрос об аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида (под этим номером утверждение, эквивалентное приведённой выше аксиоме о параллельных, фигурирует в списке постулатов в "Началах" Евклида (См. Начала Евклида)). Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов.

Вот неполный перечень учёных, занимавшихся доказательством V постулата до 19 в.: древнегреческий математики Птолемей (2 в.), Прокл (5 в.) (доказательство Прокла основано на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными), Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец 10 - начало 11 вв.) (Ибн аль-Хайсам пытался доказать V постулат, исходя из предположения, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию), таджикский математик Омар Хайям (2-я половина 11 - начало 12 вв.), азербайджанский математик Насирэддин Туей (13 в.) (Хайям и Насирэддин при доказательстве V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения), немецкий математик К. Клавий (Шлюссель, 1574), итальянские математики П. Катальди (впервые в 1603 напечатавший работу, целиком посвященную вопросу о параллельных), Дж. Борелли (1658), Дж. Витале (1680), английский математик Дж. Валлис (1663, опубликовано в 1693) (Валлис основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура). Доказательства перечисленных выше геометров сводились к замене V постулата др. предположением, казавшимся более очевидным. Итальянский математик Дж. Саккери (1733) сделал попытку доказать V постулат от противного. Приняв предложение, противоречащее постулату Евклида, Саккери развил из него довольно обширные следствия. Ошибочно признав некоторые из этих следствий приводящими к противоречиям, Саккери заключил, что постулат Евклида доказан. Немецкий математик И. Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) предпринял аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в построенной им системе логическое противоречие. Попытки доказательства постулата предпринимались и в 19 в. Здесь следует отметить работы французского математика А. Лежандра; одно из его доказательств (1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, т. е., как и все его предшественники, он заменил постулат др. допущением. Довольно близко к построению Л. г. подошли немецкие математики Ф. Швейкарт (1818) и Ф. Тауринус (1825), однако ясно выраженной мысли о том, что намечаемая ими теория будет логически столь же совершенна, как и геометрия Евклида, они не имели.

Вопрос о V постулате Евклида, занимавший геометров более двух тысячелетий, был решен Лобачевским. Это решение сводится к тому, что постулат не может быть доказан на основе др. посылок евклидовой геометрии и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Лобачевский сделал об этом сообщение в 1826, а в 1829-30 напечатал работу "О началах геометрии" с изложением своей теории. В 1832 была опубликована работа венгерского математика Я. Больяй аналогичного содержания. Как выяснилось впоследствии, немецкий математик К. Ф. Гаусс также пришёл к мысли о возможности существования непротиворечивой неевклидовой геометрии, но скрывал её, опасаясь быть непонятым. Хотя Л. г. развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский называл её "воображаемой геометрией", тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решен вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости.

Интерпретации (модели) геометрии Лобачевского. Л. г. изучает свойства "плоскости Лобачевского" (в планиметрии) и "пространства Лобачевского" (в стереометрии). Плоскость Лобачевского - это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем - расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла Л. г. состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии Л. г. (об интерпретации вообще см. Геометрия, раздел Истолкования геометрии). Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет Псевдосфера (рис. 2). Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, т. е. деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме Л. г. будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. Т. о., Л. г. получает простой реальный смысл. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Однако здесь даётся интерпретация только геометрии на куске плоскости Лобачевского, а не на всей плоскости и тем более не в пространстве (в 1901 Д. Гильберт доказал даже, что вообще в евклидовом пространстве не может существовать регулярной поверхности, геометрия на которой совпадает с геометрией всей плоскости Лобачевского).

В 1871 Ф. Клейн указал ту модель как всей плоскости, так и пространства Лобачевского, которая была описана выше и в которой плоскостью служит внутренность круга, а пространством - внутренность шара. Между прочим, в этой модели расстояние между точкам (рис. 1) определяется как ; угол - ещё сложнее.

Позже А. Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис. 3), прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями - преобразования, получаемые комбинациями инверсий (См. Инверсия) относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить модель Л. г. в пространстве.

Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга (пространством - внутренность шара), и Л. г. есть учение о тех свойствах фигур внутри круга (шара), которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре - при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные - те, которые сохраняют углы).

Возможно чисто аналитическое определение модели Л. г. Например, точки плоскости можно определять как пары чисел х, у, прямые можно задавать уравнениями, движения - формулами, сопоставляющими точкам (х, у) новые точки (х', y'). Это будет абстрактно определённая аналитическая геометрия на плоскости Лобачевского, аналогично аналитической геометрии на плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное её построение выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось само понятие о модели. Другое аналитическое определение Л. г. состоит в том, что Л. г. определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной кривизны (см. Римановы геометрии (См. Риманова геометрия)). Это определение было фактически дано ещё в 1854 Б. Риманом и включало модель Л. г. как геометрии на поверхностях постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с Л. г., а его доклад, в котором он о них сообщил, не был понят и был опубликован лишь после его смерти (в 1868).

Содержание геометрии Лобачевского. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие Л. г. от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют т. н. абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др. отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Приведём несколько фактов Л. г., отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

1) В Л. г. не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.

2) Сумма углов всякого треугольника меньше π и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность π - (α + β + γ), где α, β, γ - углы треугольника, пропорциональна его площади.

3) Через точку О, не лежащую на данной прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b, b', которые и называются параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) а общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол ее между прямой b (или b') и перпендикуляром из О на а - т. н. угол параллельности - по мере удаления точки О от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель b с одной стороны (а b' с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).

4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

5) Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.

6) Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.

9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2π, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Л. г. переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле "предельный" случай Л. г.

Л. г. продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом Л. г. является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

Приложения геометрии Лобачевского. Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного Л. г. помогла построить теорию автоморфных функций (См. Автоморфная функция). Связь с Л. г. была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что "неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи". Л. г. находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием "геометрия чисел" (см. Чисел теория). Была установлена тесная связь Л. г. с кинематикой специальной (частной) теории относительности (см. Относительности теория). Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

x² + y² + z² = c²t²

при делении на t², т. е. для скорости света, даёт

v_x² + v_y² + v_z² = c²

- уравнение сферы в пространстве с координатами v_x, v_y, v_z - составляющими скорости по осям х, у, z (в "пространстве скоростей"). Лоренца преобразования сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место Л. г.

Замечательное приложение Л. г. нашла в общей теории относительности (см. Тяготение). Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет Л. г. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.

Лит.: Лобачевский Н. И., Сочинения по геометрии, М. - Л., 1946-49 (Полн. собр. соч., т. 1-3); Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, М., 1956; Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950; Делоне Б. Н., Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М., 1956; Широков П. А., Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955; Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки, М., 1955; его же, Геометрия Лобачевского и ее предистория, М. - Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1); Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968; Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; Нут Ю. Ю., Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении, М., 1961; Андриевская М. Г., Аналитическая геометрия в пространстве Лобачевского, К., 1963.

А. Д. Александров.

Рис. 1 к ст. Лобачевского геометрия.

Рис. 2 к ст. Лобачевского геометрия.

Рис. 3 к ст. Лобачевского геометрия.